Question

7．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$M（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若A₁，A₂是椭圆E的左右顶点，过点A₂作直线l与x轴垂直，点P是椭圆E上的任意一点（不同于椭圆E的四个顶点），联结PA；交直线l与点B，点Q为线段A₁B的中点，求证：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率公式，将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）利用点斜方程，求得直线PA₁的方程，求得B的中点，利用中点坐标公式求得Q坐标，求得直线PQ的斜率，直线PQ方程为$y-{y_0}=-\frac{{2{x_0}}}{{3{y_0}}}（x-{x_0}）$，代入椭圆方程，由△=0，则直线PQ与椭圆E相切，即直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ \frac{1}{a^2}+\frac{4}{{3{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得：a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，c=1，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀）（x₀≠0且${x_0}≠±\sqrt{3}）$，直线PA₁的方程为：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{3}}}（x+\sqrt{3}）$，
令$x=\sqrt{3}$得$B=（\sqrt{3}，\frac{{2\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{3}}}）$，则线段A₂B的中点$Q（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{3}}}）$，
则直线PQ的斜率${K_{PQ}}=\frac{{{y_0}-\frac{{\sqrt{3}{y_0}}}{{{x_0}+\sqrt{3}}}}}{{{x_0}-\sqrt{3}}}=\frac{{{x_0}{y_0}}}{x_0^2-3}$，①
∵P是椭圆E上的点，
∴$x_0^2=3（1-\frac{y_0^2}{2}）$，代入①式，得${k_{PQ}}=-\frac{{2{x_0}}}{{3{y_0}}}$，
∴直线PQ方程为$y-{y_0}=-\frac{{2{x_0}}}{{3{y_0}}}（x-{x_0}）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y-{y_0}=-\frac{{2{x_0}}}{{3{y_0}}}（x-{x_0}）\\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，
又∵$2{x_0}^2+3{y_0}^2=6$，整理得${x^2}-2{x_0}x+{x_0}^2=0$，
∵△=0
∴直线PQ与椭圆E相切，即直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．