Question

16．如图，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，DD'⊥平面ABCD，∠DAB=$\frac{π}{3}$，AB=2AD，DD'=3AD，E、F分别是线段AB、D'E的中点．
（Ⅰ）求证：CE⊥DF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明CE⊥平面D'DE，即可证明：CE⊥DF；
（Ⅱ）依题意平面AED⊥平面D'DE，过A作AM⊥DE于M，则M为DE的中点，且AM⊥平面D'DE，在平面D'DE中过M作MN⊥D'E于N，连接AN，则AN⊥D'E，所以∠ANM为二面角A-EF-D的一个平面角，所以二面角A-EF-C的大小为$∠ANM+\frac{π}{2}$，即可求二面角A-EF-C的余弦值．

解答 （I）证明：∵AD=AE，$∠DAB=\frac{π}{3}$，
∴△DAE是等边三角形，$∠BEC=\frac{π}{6}$，∴$∠DEC=\frac{π}{2}$，即CE⊥DE，
∵DD'⊥平面ABCD，
∴CE⊥D'D，∴CE⊥平面D'DE，
∵DF?平面D'DE，
∴CE⊥DF…（6分）
（II）解：由（I）知CE⊥平面D'DE，所以平面CEF⊥平面D'DE，
依题意平面AED⊥平面D'DE，过A作AM⊥DE于M，则M为DE的中点，且AM⊥平面D'DE，
在平面D'DE中过M作MN⊥D'E于N，连接AN，则AN⊥D'E，
所以∠ANM为二面角A-EF-D的一个平面角，所以二面角A-EF-C的大小为$∠ANM+\frac{π}{2}$，
设AD=2，则$AM=\sqrt{3}$，$MN=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，所以$AN=\frac{{\sqrt{390}}}{10}$$cos（∠ANM+\frac{π}{2}）=-sin∠ANM=-\frac{AM}{AN}=-\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{390}}}{10}}}=-\frac{{\sqrt{130}}}{13}$，
故二面角A-EF-C的余弦值$-\frac{{\sqrt{130}}}{13}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角A-EF-C的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．