Question

18．在△ABC中，三内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosC，进而求得C．根据余弦定理求得a和b的不等式关系，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用a和b的不等式关系求得三角形面积的最大值，进而得解．

解答 解：∵acosB+bcosA=2cosC，且c=1，
∴由题意及正弦定理可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，
∵sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
可解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得：cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-1}{2ab}$，
∴ab=a²+b²-1≥2ab-1，即ab≤1，等号当a=b时成立，
∴可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
又∵h是边AB上的高，S_△ABC=$\frac{1}{2}$ch=$\frac{1}{2}$h≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴解得：h≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则h的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的应用，两角和公式的化简求值，属于基本知识的考查．