Question

8．[重点中学做]如图所示，以Ox为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的横坐标为-$\frac{4}{5}$．
（1）求$\frac{sin2α+cos2α}{1+co{s}^{2}a}$的值；
（2）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义，求得cosα、sinα、tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要去式子的值．
（2）利用两个向量数量积的定义求得cos（α-β） 和sin（α-β）的值，再利用两角差的正弦公式求得 sinβ=sin[α-（α-β）]的值．

解答 解：（1）由题意可得cosα=-$\frac{4}{5}$，sinα=$\frac{3}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{sin2α+cos2α}{1+co{s}^{2}a}$=$\frac{2sinαcosα{+cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{2cos}^{2}α{+sin}^{2}α}$=$\frac{2tanα+1{-tan}^{2}α}{2{+tan}^{2}α}$=-$\frac{17}{41}$．
（2）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=|OP|•|OQ|•cos（α-β）=cos（α-β）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即 cos（α-β）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{3}$-（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}+4\sqrt{6}}{15}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．