Question

14．函数f（x）=$\frac{\frac{1}{6}•（-1）^{1+{C}_{2x}^{x}}•{A}_{x+2}^{5}}{1+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}+…+{C}_{x-1}^{2}}$ （x∈N）的最大值是-20．

Answer 1

分析 推导出f（x）=-（x+2）（x+1），由此能求出f（x）的最大值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{\frac{1}{6}•（-1）^{1+{C}_{2x}^{x}}•{A}_{x+2}^{5}}{1+{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}+…+{C}_{x-1}^{2}}$
=$\frac{\frac{1}{6}•（-1）{•A}_{x+2}^{5}}{{C}_{x}^{3}}$
=-$\frac{\frac{1}{6}（x+2）（x+1）x（x-1）（x-2）}{\frac{1}{1×2×3}x（x-1）（x-2）}$
=-（x+2）（x+1）
=-x²-3x-2
=-（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$．
∵x∈N，且x≥3，f（x）的减区间是[-$\frac{3}{2}$，+∞），
∴x=3时，f（x）_max=f（3）=-（3+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$=-20．
故答案为：-20．

点评 本题考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式的合理运用．