题目内容

攀枝花市欢乐阳光节是攀枝花市的一次向外界展示攀枝花的盛会，为了搞好接待工作，组委会在某大学招募了10名男志愿者和5名女志愿者（分成甲乙两组），招募时志愿者的个人综合素质测评成绩如图所示．
（Ⅰ）问男志愿者和女志愿者的平均个人综合素质测评成绩哪个更高？
（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从甲乙两组中共抽取3名志愿者负责接
待外宾，要求3人中至少有一名志愿者个人综合素质测评为优秀（成绩
在80分以上为优秀）的概率；
（Ⅲ）抽样方法同（Ⅱ），记X表示抽取的3名志愿者的个人综合素质测评为优秀的数目，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,古典概型及其概率计算公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由茎叶图分别求出男志愿者和女志愿者的平均个人综合素质测评成绩的平均数，得到女志愿者的平均个人综合素质测评成绩更高．
（Ⅱ）由题意，抽取比例为
3
15
，所以在男志愿者中抽2名，女志愿者中抽1名．由此利用对立事件的概率公式能求出至少1名成绩优秀的概率．
（Ⅲ）X的可能取值是0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
.
x甲
=
1
10
(63+67+68+72+82+84+84+95+90+95)=80
.
x乙
=
1
5
(66+76+79+89+95)=81，
∵
.
x甲
＜
.
x乙
，
∴女志愿者的平均个人综合素质测评成绩更高．
（Ⅱ）由题意，抽取比例为
3
15
，
∴在男志愿者中抽2名，女志愿者中抽1名．
设至少1名成绩优秀的事件为A，则成绩都不优秀的事件为
.
A
，有
∵P(
.
A
)=
C
2
4
•
C
1
3
C
2
10
•
C
1
5
=
18
225
=
2
25
，∴P(A)=1-
2
25
=
23
25
．
（Ⅲ）X的可能取值是0，1，2，3，
P(X=0)=
2
25
，
P(X=1)=
C
1
6
•
C
1
4
•
C
1
3
+
C
2
4
•
C
1
2
C
2
10
•
C
1
5
=
84
225
=
28
75
，
P(X=2)=
C
1
6
•
C
1
4
•
C
1
2
+
C
2
6
•
C
1
3
C
2
10
•
C
1
5
=
93
225
=
31
75
，
P(X=3)=
C
2
6
•
C
1
2
C
2
10
•
C
1
5
=
30
225
=
10
75
，
X的分布列为：
X0123
P
2
25
28
75
31
75
10
75
数学期望为E(X)=1×
28
75
+2×
31
75
+3×
10
75
=
24
15
=1.6．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意茎叶图的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（1）求证：AD⊥平面PBE
（2）若VP-BCDE=2VQ-ABCD，试求
CP
CQ
的值．
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（1）求公比q的值；
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如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2
2
，PA=2，
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（2）求三棱锥P-ABE的体积．
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x2
a2
+
y2
b2
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MF
|=1且
MP
•
MF
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PM
|的最小值；
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（2）当x∈R且A∩B=∅时，求m的取值范围．
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sinx， 当sinx≥cosx
cosx， 当sinx＜cosx
，现有下列四个命题：
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p2：当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+
3π
2
（k∈Z）时，f（x）＜0；
p3：当且仅当x=2kπ+
π
2
（k∈Z）时，该函数取得最大值1；
p4：函数f（x）是以2π为最小正周期的周期函数．
其中为真命题的是
 
．
设Rt△ABC的三边长AB=5，BC=4，CA=3，则向量
BC
在向量
AB
上的投影等于
 
．

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