Question

14．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一平面内的三个向量，其中$\overrightarrow a=（1，-3）$．
（1）若$|\overrightarrow c|=2\sqrt{10}$，且$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$的坐标；
（2）若$|\overrightarrow b|=\sqrt{5}$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$与$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$垂直，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ

Answer 1

分析 （1）根据题意，设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，由数乘向量的坐标公式可得$\overrightarrow{c}$=（λ，-3λ），又由向量模的计算公式可得λ的值，代入$\overrightarrow{c}$的坐标中即可得答案．
（2）由数量积的性质可得$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$•$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$=0，可得关于θ的关系式，结合向量夹角的范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，由于$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，且$\overrightarrow a=（1，-3）$．
则设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{c}$=λ（1，-3）=（λ，-3λ），
又由$|\overrightarrow c|=2\sqrt{10}$，
则有（λ）²+（-3λ）²=40，
解可得λ=±2，
则$\overrightarrow{c}$=（2，-6）或（-2，6）；
（2）若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$与$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$垂直，
则有$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{\overrightarrow b^2}$=$|\overrightarrow a{|^2}-|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cosθ-2|\overrightarrow b{|^2}$=$10-\sqrt{10}×\sqrt{5}cosθ-2×5=0$，
∴cos=0，则$θ=\frac{π}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积运算，涉及向量共线的性质，关键是掌握向量的数量积的计算公式．