Question

2．在△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{3}$BC，则当△ABC面积最大值时其周长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$+2
• B． $\sqrt{3}$+3
• C． 2$\sqrt{3}$+4
• D． $\sqrt{3}$+4

Answer 1

分析 以AB中点为原点，AB垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设C（x，y），推导出C在以D（-2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆上，当△ABC面积取最大值时，C（-2，$\sqrt{3}$），由此能求出当△ABC面积最大值时其周长的值．

解答 解：以AB中点为原点，AB垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
如图，A（1，0），B（-1，0），
设C（x，y），∵AC=$\sqrt{3}$BC，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{3}•$$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
整理，得（x+2）²+y²=3，
∴C在以D（-2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆上，
∴当△ABC面积取最大值时，
C到x轴即AB线段取最大距离为$\sqrt{3}$，
∴C（-2，$\sqrt{3}$），∴BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∴当△ABC面积最大值时其周长为：2+2+2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}+4$．
故选：C．

点评 本题考查当△ABC面积最大值时其周长的求法，考查直角坐标系、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．