Question

已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，

2 3

3

）是椭圆上的一点，且|PF₁|+|PF₂|=2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l₁，l₂分别过点F₁，F₂，且l₁⊥l₂，直线l₁交椭圆C于D、E两点，直线l₂交椭圆C于M、N两点，求四边形DMEN面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

2a=2 3 1 a2 + 4 3b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当l₁，l₂斜率都存在时，设DE：y=k（x+1），代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，由此求出|DE|=

4 3 (k2+1)

3k2+2

，同理，|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

，从而求出k=±1时S=

96

25

；当l₁，l₂有一条斜率不存在时，S=4，由此求出四边形DMEN面积的最小值为

96

25

．

解答： （Ⅰ）证明：∵F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，
点P（1，

2 3

3

）是椭圆上的一点，且|PF₁|+|PF₂|=2

3

，
∴

2a=2 3 1 a2 + 4 3b2 =1

，解得a=

3

，b=

2

，
∴椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）解：①当l₁，l₂斜率都存在时，设DE：y=k（x+1），
代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则x1+x2=

-6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

，
|x₁-x₂|=

4 3 • k2+1

3k2+2

，
∴|DE|=

1+k2

•|x₁-x₂|=

4 3 (k2+1)

3k2+2

，
∵l₁⊥l₂，同理，|MN|=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

，
∴S=

1

2

|DE|•|MN|=

24[(k2+ 1 k2 )+2]

6(k2+ 1 k2 )+13

 ，
令t=k²+

1

k2

，得S=4-

4

13+6×2

=

96

25

，
等号成立的条件是k=

1

k

，即k=±1．
②当l₁，l₂有一条斜率不存在时，S=4．
由①②得四边形DMEN面积的最小值为

96

25

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．