Question

2．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数k，使得$|{f（x）}|≤\frac{k}{2017}|x|$对所有实数x均成立，则称函数f（x）为“期望函数”，下列函数中“期望函数”的个数是（　　）
①f（x）=x²②f（x）=xe^x③$f（x）=\frac{x}{{{x^2}-x+1}}$④$f（x）=\frac{x}{{{e^x}+1}}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据期望函数的定义对各个函数判断即可．

解答 解：对于①：假设函数f（x）为“期望函数“，
则|f（x）|=x²≤$\frac{k}{2017}$|x|，
当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，
因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，
即函数f（x）不是“期望函数”；
对于②：同理①可得②也不是“期望函数”；
对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，
则|f（x）|=$\frac{|x|}{{x}^{2}-x+1}$≤$\frac{k}{2017}$|x|，
当x=0时，k∈R，x≠0时，
化为k≥2017×$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$=$\frac{2017}{{（x-\frac{1}{2}）}^{2}+\frac{3}{4}}$，
∴k≥$\frac{8064}{3}$
∴存在常数k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2017}$|x|对所有实数都成立，
∴③是“期望函数”；
对于④，假设函数f（x）为“期望函数“，
则|f（x）|=$\frac{|x|}{{e}^{x}+1}$≤$\frac{k}{2017}$|x|，
当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，k≥2017，
∴存在常数k＞0，使|f（x）|≤$\frac{k}{2017}$|x|对所有实数都成立，
∴④是“期望函数”；
故选：B．

点评 本题考查了新定义函数、分类讨论方法、函数的单调性及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．