Question

已知点集M={（x，y）|y=f（x）}，若对任意点P₁（x₁，y₁）∈M，存在点P₂（x₂，y₂）∈M，使得

OP1

•

OP2

=0成立，则称集合M是“幸福点集”．给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=

1

x

}；          
②M={（x，y）|y=1+cos2x}；
③M={（x，y）|y=lnx}；         
④M={（x，y）|y=e^x-1-2}．
其中是“幸福点集”的序号是

 

（填出所有满足条件的集合序号）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“幸福点集”的定义，即可判断正误；

解答： 解：对于①：y=

1

x

是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，
所以在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足好集合的定义；
在另一支上对任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，
使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
所以不满足“幸福点集”的定义，不是“幸福点集”．
对于②：M={（x，y）|y=cos2x+1}，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，例如（0，2）、（

π

4

，0），满足“幸福点集”的定义，所以M是“幸福点集”；正确．
对于③M={（x，y）|y=lnx}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“幸福点集”；
对于④M={（x，y）|y=e^x-1-2}，如下图蓝线的直角始终存在，对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，满足“幸福点集”的定义，所以是“幸福点集”；正确．

所以②④正确．
故答案为：②④

点评：本题属于新定义题目，准确理解“幸福点集”的概念是解题的关键，本题属于中档题．