题目内容

已知底面是正方形的长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2
7
，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O上任意一点，有以下判断：
①PE长的最大值是9；
②三棱锥P-EBC体积最大值是15+3
7
；
③存在过点E的平面，截球O的截面面积是8π；
④Q是球O上另一点，PQ=8，则四面体ABPQ体积的最大值为56；
⑤过点E的平面截球O所得截面面积最大时，B1C垂直于该截面．
其中判断正确的序号是
 
．
考点：球内接多面体,棱柱的结构特征
专题：综合题,空间位置关系与距离
分析：①求出外接球的直径为
36+36+28
=10，半径为5，可得OE=4，从而PE长的最大值是4+5=9，故正确；
②P到平面EBC的最大值为5+
7
，利用体积公式，可求三棱锥P-EBC体积最大值；
③过点E的平面，截球O的截面面积最小是9π；
④当PQ中点与C1D1中点重合，且PQ垂直于平面ABC1D1时，则四面体ABPQ体积为56；
⑤过侧面C1CB1B是矩形，CB1不垂直C1B，BC1不可能垂直于ABC1D1．
解答： 解：①∵底面是正方形的长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2
7
，∴外接球的直径为
36+36+28
=10，半径为5，∵点E是AB的中点，∴OE=4，∴PE长的最大值是4+5=9，故正确；
②P到平面EBC的最大值为5+
7
，∵△EBC的面积为9，∴三棱锥P-EBC体积最大值是15+3
7
，故正确；
③过点E的平面，截球O的截面面积最小是9π，故不正确；
④当PQ中点与C1D1中点重合，且PQ垂直于平面ABC1D1时，则四面体ABPQ体积为56，故正确；
⑤过侧面C1CB1B是矩形，CB1不垂直C1B，BC1不可能垂直于ABC1D1，故不正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
1
sinB
．
（1）求证：0＜B≤
π
3
；
（2）若sinB=
7
4
，且
BA
•
BC
=
3
2
，求|
BC
+
BA
|的值．
若函数f（x）对任意的x∈R都有f（x+3）=-f（x+1），且f（2）=2014，则f[f（2014）+2]+3=
 
．
已知点集M={（x，y）|y=f（x）}，若对任意点P1（x1，y1）∈M，存在点P2（x2，y2）∈M，使得
OP1
•
OP2
=0成立，则称集合M是“幸福点集”．给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=
1
x
}；          
②M={（x，y）|y=1+cos2x}；
③M={（x，y）|y=lnx}；         
④M={（x，y）|y=ex-1-2}．
其中是“幸福点集”的序号是
 
（填出所有满足条件的集合序号）
如图，定义某种运算S=a?b，运算原理如图所示，则式子（2tan
5π
4
）?lne+10lg2?（
1
3
）-1的值为
 
．
一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是
 
．
设变量x、y满足约束条件
x≥0
x-2y≥0
x-y≤1
，则目标函数z=2x+y的最大值为
 
．
已知直线l：2mx+（1-m2）y-4m-4=0，若对任意m∈R，直线l与一定圆相切，则该定圆方程为
 
．
设抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于（　　）
A、2
3
B、4
3
C、
8
3
D、4

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