Question

已知椭圆

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1（a₁＞b₁＞0）与双曲线

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1（b₂＞0）有公共焦点F₁（-

13

，0），F₂（

13

，0），且椭圆的长轴长比双曲线的实轴长大8，离心率之比为3：7，求椭圆和双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线的实轴，虚轴，半焦距分别为A，B，c，设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，由题意可知，c²=13，2a=2A+8，

c

A

：

c

a

=7：3，即3a=7A，由此能求出椭圆和双曲线的方程．

解答： 解：设双曲线的实轴，虚轴，半焦距分别为A，B，c
设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c
由题意可知，c²=13，①，2a=2A+8，②

c

A

：

c

a

=7：3，即3a=7A，③
①②③三式联立，解得：A=3，a=7
所以由椭圆定义，a=7，c²=13，所以b₁²=36
由双曲线的定义，A=3，c²=13，所以b₂²=4
∴椭圆方程为

x2

49

+

y2

36

=1，双曲线的方程为

x2

9

-

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆锥曲线的性质的合理运用．