Question

10．定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x），且满足f（x）+f′（x）＜-2，f（1）=2，则不等式e^xf（x）＞4e-2e^x（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，0）∪（1，+∞）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=e^x•f（x）+2e^x，对其求导结合题意分析可得g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数；分析可以将不等式e^xf（x）＞4e-2e^x转化为g（x）＞g（1），由函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=e^x•f（x）+2e^x，
则其导数g′（x）=e^x•f（x）+e^x•f′（x）+2e^x=[f（x）+f′（x）+2]•e^x，
又由f（x）满足f（x）+f′（x）＜-2，
则有g′（x）＜0，即函数g（x）为减函数，
且g（1）=e•f（1）+2e=4e，
则不等式e^xf（x）＞4e-2e^x⇒e^xf（x）+2e^x＞4e⇒g（x）＞g（1），
又由函数g（x）为减函数，
则有x＜1，
即其解集为（-∞，1）；
故选：A．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．