Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足$2{a_n}={2^{n+1}}+2{a_{n-1}}，（{n≥2，n∈{N^*}}）$，且a₁=3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_n}+1}}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得：${a_n}-{a_{n-1}}={2^n}$，再利用累加求和方法与等比数列的求和公式即可得出．
（II）利用等比数列的求和公式与数列的单调性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由题意可得：${a_n}-{a_{n-1}}={2^n}$…..（3分）
累加得∴${a_n}-{a_1}={2^2}+{2^3}+…{2^n}$…（5分）
∴${a_n}={2^{n+1}}-1$…（6分）
（Ⅱ）证明：${a_n}+1={2^{n+1}}$，
∴$\left\{{\frac{1}{{{a_{n+1}}+1}}}\right\}$是首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
因此$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{{\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{2^n}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}$…（9分）
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2^n}}）$…..（11分）
$＜\frac{1}{2}$…．（12分）

点评 本题考查了累加求和方法、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．