题目内容
A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．
（1）若A点的坐标为（
，
），求
的值；
（2）求|BC|2的取值范围．
（1）若A点的坐标为（
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3-cos2α+sinαcosα |
| 1+sin2α |
（2）求|BC|2的取值范围．
考点：同角三角函数基本关系的运用,任意角的三角函数的定义
专题：三角函数的求值
分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所求式子的值．
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），可得B点的坐标为（cos（α+
），sin（α+
）），且C（1，0），|BC|2 =2-2cos（α+
）．再根据α∈（
，
），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|2的取值范围．
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），可得B点的坐标为（cos（α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解答：
解：（1）∵A点的坐标为（
，
），∴tanα=
，∴
=
=
=
．
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），∵△AOB为正三角形，
∴B点的坐标为（cos（α+
），sin（α+
）），且C（1，0），
∴|BC|2=[cos（α+
）-1]2+sin2（α+
）=2-2cos（α+
）．
而A、B分别在第一、二象限，∴α∈（
，
），∴α+
∈（
，
），∴cos（α+
）∈（-
，0）．
∴|BC|2的取值范围是（2，2+
）．
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 3-cos2α+sinαcosα |
| 1+sin2α |
| 3sin2α+2cos2α+sinαcosα |
| 2sin2α+cos2α |
| 3tan2α+2+tanα |
| 2tan2α+1 |
3×
| ||||
2×
|
| 78 |
| 41 |
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），∵△AOB为正三角形，
∴B点的坐标为（cos（α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴|BC|2=[cos（α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
而A、B分别在第一、二象限，∴α∈（
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴|BC|2的取值范围是（2，2+
| 3 |
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
若球的体积增加到原来的8倍，则它的表面积增加到原来的（ ）
| A、2倍 | ||
| B、4倍 | ||
C、2
| ||
D、2
|
在区间[-10，4]上随机取一个数x，则x满足不等式x2-x-2＜0的概率是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|