Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c（x∈[-1，2]），且函数f（x）在x=1和x=-

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处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b，且

f′(1)=3+2a+b=0 f′(- 2 3 )= 4 3 - 4 3 a+b=0

，由此能求出a，b的值．
（2）由f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＞0，能求出函数f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=1和x=-

2

3

处都取得极值，
∴

f′(1)=3+2a+b=0 f′(- 2 3 )= 4 3 - 4 3 a+b=0

，解得

a=- 1 2 b=-2

．
（2）由（1）得f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c
当f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）＞0时，
由x∈[-1，2]，得-1＜x＜-

2

3

，或1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，-

2

3

），（1，2]．

点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．