Question

设函数f（x）=ax²+bx+clnx（其中a，b，c为实常数）
（1）当b=0，c=1时，讨论f（x）的单调区间；
（2）曲线y=f（x）（其中a＞0）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x-3
①若函数f（x）无极值点且方程f′（x）=0有解，求a，b，c的值；
②若函数f（x）有两个极值点，证明f（x）的极值点小于-

3

4

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得x＞0，f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）①f′(x)=2ax+b+

c

x

，由题得

f(1)=a+b=0 f′(1)=2a+b+c=3

，由此利用导数性质能求出a，b，c的值．
②由①知f′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

，x＞0，要使函数f（x）有两个极值点，只要方程2ax²-ax+3-a=0有两个不等正根，由此能证明f(x2)＜f(

1

2

)=-

3

4

．

解答： （1）解：当b=0，c=1时，f（x）=ax²+lnx，
x＞0，f′(x)=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，+∞），无减区间；
当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞

- 1 2a

或x＜-

- 1 2a

（舍），
由f′（x）＜0，得0＜x＜

- 1 2a

，
∴f（x）的减区间是（0，

- 1 2a

），增区间是（

- 1 2a

，+∞）．
（2）①解：f′(x)=2ax+b+

c

x

，
由题得

f(1)=a+b=0 f′(1)=2a+b+c=3

，
此时f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，
f′(x)=2axa+

3-a

x

=

2ax2-ax+3-a

x

，
由f（x）无极值点且f′（x）存在零点，
得a²-8a（3-a）=0，a＞0，
解得a=

8

3

，于是b=-

8

3

，c=-

1

3

．
②证明：由①知f′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

，x＞0，
要使函数f（x）有两个极值点，
只要方程2ax²-ax+3-a=0有两个不等正根，
那么实数a应满足

a2-8a(3-a)＞0 3-a＞0 a 2(2a) ＞0

，解得

8

3

＜a＜3，
设两正根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
可知当x=x₂时有极小值f（x₂），
其中这里0＜x₁＜

1

4

，
由于对称轴为x=

1

4

，所以

1

4

＜x₂＜

1

2

，
且2ax₂²-ax₂+3-a=0，得a=

-3

2x2-x2-1

，
记g（x）=x²-x-lnx，（

1

4

＜x≤1），
有g′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

≤1，对x∈（

1

4

，1]恒成立，
又g（1）=0，故对x∈（

1

4

，

1

2

）恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0，
所以有f(x2)=ax22-ax2+(3-a)lnx2
=a（x₂²-x₂-lnx₂）+3lnx₂=+lnx₂-

3(x22-x2-lnx2)

2x22-x2-1

，（

1

4

＜x2＜

1

2

），
而f′(x2)=

(4x2-1)(x22-x2-lnx2)

(2x22-x2-1)2

＞0对于

1

4

＜x2＜

1

2

恒成立，
即f(x2) 在（

1

4

，

1

2

）上单调递增，
故f(x2)＜f(

1

2

)=-

3

4

．

点评：本题主要考查单调区间的求法，考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．