Question

已知函数，.
（Ⅰ）若与在处相切，试求的表达式；
（Ⅱ）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明不等式：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析

试题分析：（Ⅰ）求导数，利用与在处相切，可求的表达式；（Ⅱ） 在上是减函数，可得导函数小于等于 在上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数的取值范围；（Ⅲ）当x≥2时，证明 ，当x＞1时，证明 ，利用叠加法，即可得到结论．
试题解析：解：（Ⅰ）由已知 且  得：     2分
又            3分
（Ⅱ）在上是减函数，
在上恒成立.         5分
即在上恒成立，由，
   得            6分
（Ⅲ)由（Ⅰ）可得：当时：
 得：        8分
当时： 当时： 当时：
当时：，
上述不等式相加得：
即：     ①         9分
由（Ⅱ）可得：当时：在上是减函数
当时： 即
所以 从而得到：          11分
当时：  当时：  当时：
当时：，
上述不等式相加得：

即  ②
综上：（）       12分