Question

18．设函数f（x）=x³-ax-b，x∈R，其中a，b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀；求证：x₁+2x₀=0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）由条件判断出a＞0，且x₀≠0，由f′（x₀）=0求出x₀，分别代入解析式化简f（x₀），f（-2x₀），化简整理后可得证．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）=x³-ax-b，则f′（x）=3x²-a，
分两种情况讨论：
①、当a≤0时，有f′（x）=3x²-a≥0恒成立，
此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），
②、当a＞0时，令f′（x）=3x²-a=0，解得x=-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x=$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，
当x＞$\frac{\sqrt{3a}}{3}$或x＜-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$时，f′（x）=3x²-a＞0，f（x）为增函数，
当-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$＜x＜$\frac{\sqrt{3a}}{3}$时，f′（x）=3x²-a＜0，f（x）为减函数，
故f（x）的增区间为（-∞，-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$），（$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，+∞），减区间为（-$\frac{\sqrt{3a}}{3}$，$\frac{\sqrt{3a}}{3}$）；
（Ⅱ）若f（x）存在极值点x₀，则必有a＞0，且x₀≠0，
由题意可得，f′（x）=3x²-a，则x₀²=$\frac{a}{3}$，
进而f（x₀）=x₀³-ax₀-b=-$\frac{2a}{3}$x₀-b，
又f（-2x₀）=-8x₀³+2ax₀-b=-$\frac{8}{3}$x₀+2ax₀-b=f（x₀），
由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x₁，满足f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，
则有x₁=-2x₀，故有x₁+2x₀=0．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．