Question

6．已知函数f（x）=klnx-x²，k∈R．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求k的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的范围即可；
（Ⅱ）法一：通过讨论k的范围，集合函数的单调性求出函数的零点个数即可；法二：根据函数的单调性画出图象，判断函数的零点个数即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得f′（x）≥0在（0，1]上恒成立…（1分）
∵f′（x）=$\frac{k}{x}$-2x且x∈（0，1]，
∴f′（x）≥0?k≥2x² …（2分）
∵y=2x²在（0，1]上递增，
∴（2x²）_max=2，…（3分）
∴k的取值范围是[2，+∞）…（4分）
（Ⅱ）解法1：（1）当k=0时，f（x）=-x²（x＞0）没有零点；…（5分）
（2）当k≠0时，f′（x）=$\frac{k-{2x}^{2}}{x}$（x＞0）…（6分）
∴k＜0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
且x→0且x＞0时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→-∞，因此f（x）有一个零点；…（7分）
又k＞0时有

x	（0，$\sqrt{\frac{k}{2}}$）	$\sqrt{\frac{k}{2}}$	（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值$\frac{1}{2e}$	递减

x→+∞时，f（x）→-∞；x→0且x＞0时，f（x）→-∞；
f（x）_max=f（$\sqrt{\frac{k}{2}}$）=$\frac{k}{2}$（ln$\frac{k}{2}$-1）…（9分）
∴ln$\frac{k}{2}$=1即k=2e时，f（x）有1个零点；
ln$\frac{k}{2}$＜1即0＜k＜2e时，f（x）无零点；
ln$\frac{k}{2}$＞1即k＞2e时，f（x）有2个零点，…（11分）
综上所述，
当k∈[0，2e）时，函数f（x）没有零点；
当k=2e或k∈（-∞，0）时，函数f（x）有一个零点；
当k∈（2e，+∞）时，函数f（x）有两个零点…（12分）
解法2：当k=0时，f（x）=-x²（x＞0）没有零点；…（5分）
当k≠0时方程f（x）=0⇒$\frac{1}{k}$=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0）…（6分）
设φ（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），则φ′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$…（7分）
则有

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
φ′（x）	+	0	-
φ（x）	递增	极大值$\frac{1}{2e}$	递减

而x→0且x＞0时，φ（x）→-∞；x→+∞且x＞0时，φ（x）→0且φ（x）＞0…（8分）
…（9分）
由图可知：
当$\frac{1}{k}$＞$\frac{1}{2e}$，即k∈（0，2e）时，y=$\frac{1}{k}$与y=f（x）图象没有公共点；
当$\frac{1}{k}$=$\frac{1}{2e}$或$\frac{1}{k}$＜0，即k=2e或k∈（-∞，0）时，y=$\frac{1}{k}$与y=k（x）图象有一个公共点；
当0＜$\frac{1}{k}$＜$\frac{1}{2e}$，即k∈（2e，+∞）时，y=$\frac{1}{k}$与y=k（x）图象有两个公共点…（11分）
综上所述，
当k∈[0，2e）时，函数f（x）没有零点；
当k=2e或k∈（-∞，0）时，函数f（x）有一个零点；
当k∈（2e，+∞）时，函数f（x）有两个零点．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．