Question

已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin²A-cos²A=

1

2

，则b+c与2a的大小关系为

 

．（填＜或＞或≤或≥或=）

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理求出cos2A的值，确定出A的度数，设B=60°+x，0≤x＜60°，则有C=60°-x，

1

2

＜cosx≤1，表示出sinB+sinC，求出2sinA的值，即可做出判断．

解答： 解：∵锐角△ABC中，sin²A-cos²A=-cos2A=

1

2

，即cos2A=-

1

2

，
∴2A=120°，即A=60°，
设B=60°+x，0≤x＜60°，则有C=60°-x，

1

2

＜cosx≤1，
∵sinB+sinC=sin（60°+x）+sin（60°-x）=2sin60°cosx=

3

cosx，2sinA=2×

3

2

=

3

，
∴sinB+sinC≤2sinA，
由正弦定理化简得：b+c≤2a，
故答案为：≤

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及和差化积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．