Question

5．设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x、y∈R都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（n）（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和S_n的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 根据f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，进而可以求得S_n，运用单调性，进而得到S_n的取值范围．

解答 解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=f（n）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
由1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ在n∈N*上递增，可得最小值为1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
则S_n∈[$\frac{1}{2}$，1）．
故选：A．

点评 本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{a_n}是等比数列，属中档题．