Question

7．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆x²+y²=（$\frac{b}{2}$+c）²，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{5}$，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• C． （$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 法一：联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{b}{2}+c）^{2}}\end{array}\right.$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$=（$\frac{b}{2}+c$）²-b²，推导出$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}＜c}\\{\frac{b}{2}＜a-c}\end{array}\right.$，从而$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{2}＞1}\\{5{e}^{2}-8e+3＞0}\end{array}\right.$，且0＜e＜1，由此能出椭圆的离心率e的取值范围．
法二：圆的半径满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}+c＞b}\\{\frac{b}{2}+c＜a}\end{array}\right.$，由$\frac{b}{2}+c＞b$，得2c＞b，再平方得4c²＞b²，在椭圆中，a²=b²+c²＜5c²，从而e=$\frac{c}{a}＞\frac{\sqrt{5}}{5}$，由$\frac{b}{2}+c＜a$，得b+2c＜2a，推导出e＜$\frac{3}{5}$．由此能求出椭圆的离心率e的取值范围．故选：C．

解答 解：法一：联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（\frac{b}{2}+c）^{2}}\end{array}\right.$，消去y²，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$=（$\frac{b}{2}+c$）²-b²，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆x²+y²=（$\frac{b}{2}$+c）²，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，
∴0＜x²＜a²，∴0＜$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}^{2}$＜c²，
∴0＜（$\frac{b}{2}+c$）²-b²＜c²，
∴b＜$\frac{b}{2}+c$＜a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}＜c}\\{\frac{b}{2}＜a-c}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b＜2c}\\{b＜2a-2c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}＜4{c}^{2}}\\{{b}^{2}＜4{a}^{2}+4{c}^{2}-8ac}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{5{e}^{2}＞1}\\{5{e}^{2}-8e+3＞0}\end{array}\right.$，且0＜e＜1，
解得$\frac{\sqrt{5}}{5}＜e＜\frac{3}{5}$．
故选：C．
法二：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆x²+y²=（$\frac{b}{2}$+c）²，（c为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，
椭圆与圆的中心都是原点，
∴圆的半径满足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{2}+c＞b}\\{\frac{b}{2}+c＜a}\end{array}\right.$，
由$\frac{b}{2}+c＞b$，得2c＞b，再平方得4c²＞b²，
在椭圆中，a²=b²+c²＜5c²，
∴e=$\frac{c}{a}＞\frac{\sqrt{5}}{5}$，
由$\frac{b}{2}+c＜a$，得b+2c＜2a，
再平方，得：b²+4c²+4bc＜4a²，
∴3c²+4bc＜3c²，∴4bc＜3b²，
∴4c＜3b，∴16c²＜9b²，
∴16c²＜9a²-9c²，∴9a²＞25c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{9}{25}$，∴e＜$\frac{3}{5}$．
综上，椭圆的离心率e的取值范围是（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．