Question

20．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（　　）

• A． 2+2$\sqrt{2}$
• B． 2+$\sqrt{2}$
• C． 4+2$\sqrt{2}$
• D． 4+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据三视图作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征计算每个侧面的面积．

解答 解：根据三视图作出三棱锥P-ABC的直观图，
P在底面ABC中的射影为AB的中点D，AB⊥AC，PD=1，AB=2，AC=$\sqrt{2}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}AB•PD$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
由PD⊥平面ABC得PD⊥AC，故而AC⊥平面PAD．∴AC⊥PA．
∵PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴S_△PAC=$\frac{1}{2}PA•AC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1．
由勾股定理得PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=2，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴PB²+PC²=BC²，∴PB⊥PC．
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}PB•PC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2$=$\sqrt{2}$．
∴三棱锥额表面积S=1+$\sqrt{2}$+1+$\sqrt{2}$=2+2$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，多面体的表面积计算，属于中档题．