Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁＝1，a_n＋1＝S_n(n＝1，2，3，…)，证明：

(1) 数列是等比数列；

(2) S_n＋1＝4a_n.

Answer 1

证明：(1) ∵ a_n＋1＝S_n＋1－S_n，a_n＋1＝S_n(n＝1，2，3，…)，∴ (n＋2)S_n＝n(S_n＋1－S_n)，

整理得nS_n＋1＝2(n＋1)S_n，∴，

即＝2，∴ 数列是等比数列．

(2) 由(1)知：＝4· (n≥2)，于是S_n＋1＝4·(n＋1)·＝4a_n(n≥2)．又a₂＝3S₁＝3，∴ S₂＝a₁＋a₂＝1＋3＝4a₁，

∴ 对一切n∈N^*，都有S_n＋1＝4a_n.