Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n.已知a₁＝1，＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.

(1) 求a₂的值；

(2) 求数列{a_n}的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

Answer 1

 (1) 解：∵＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.

∴ 当n＝1时，2a₁＝2S₁＝a₂－－1－＝a₂－2.

又a₁＝1，∴ a₂＝4.

(2) 解：∵＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.

∴ 2S_n＝na_n＋1－n³－n²－n

＝na_n＋1－， ①

∴ 当n≥2时，2S_n－1＝(n－1)a_n－， ②

由①－②，得 2S_n－2S_n－1＝na_n＋1－(n－1)a_n－n(n＋1)．

∵ 2a_n＝2S_n－2S_n－1，

∴ 2a_n＝na_n＋1－(n－1)a_n－n(n＋1)，

∴－＝1.

∴ 数列是以首项为＝1，公差为1的等差数列.

∴ ＝1＋1×(n－1)＝n，∴a_n＝n²(n≥2)，

当n＝1时，上式显然成立．

∴ a_n＝n²，n∈N^* .

(3) 证明：由(2)知，a_n＝n²，n∈N^* ，

① 当n＝1时，＝1<，

∴ 原不等式成立.

② 当n＝2时， ＋＝1＋<，

∴ 原不等式亦成立.

∴ 当n≥3时，原不等式亦成立.

综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.