题目内容
已知椭圆的中心在原点，一个焦点是（1，0），这个椭圆与直线y=x-1交于A、B两点，若以A、B为直径的圆过椭圆左焦点，求椭圆方程．
考点：椭圆的标准方程
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意设出椭圆方程，和直线方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的乘积，再结合
•
=0即可求得m的值，则椭圆方程可求．
| FA |
| FB |
解答：
解：由题意设椭圆方程为
+
=1，
联立
，得（2m-1）x2-2mx+2m-m2=0．
由根与系数关系得：x1x2=
．
以AB为直径的圆过椭圆的焦点F（-1，0），
∴
•
=0，即
（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，
（x1+1）（x2+1）+（x1-1）（x2-1）=0．
∴x1x2=-1，
得
=-1，解得：
m=2±
．
又∵m＞1
∴m=2+
．
∴椭圆方程为：
+
=1．
| x2 |
| m |
| y2 |
| m-1 |
联立
|
由根与系数关系得：x1x2=
| 2m-m2 |
| 2m-1 |
以AB为直径的圆过椭圆的焦点F（-1，0），
∴
| FA |
| FB |
（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，
（x1+1）（x2+1）+（x1-1）（x2-1）=0．
∴x1x2=-1，
得
| 2m-m2 |
| 2m-1 |
m=2±
| 3 |
又∵m＞1
∴m=2+
| 3 |
∴椭圆方程为：
| x2 | ||
2+
|
| y2 | ||
1+
|
点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了平面向量在解题中的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
练习册系列答案
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| B、命题“?x∈R，x2+x-1＜0”的否定是“?x∈R，x2+x-1＞0” |
| C、“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件 |
| D、“命题p，q中至少有一个为真命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件 |