Question

已知函数f（x）=x³-ax，f′（1）=0．
（1）求a的值；    
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求导，由f′（1）=0，即可解得；
（2）利用导数研究函数的单调性，当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax，f′（1）=0．
∴f′（x）=3x²-a，
∴3-a=0，a=3．
（2）由（1）知f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∴当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；递减区间是（-1，1）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，属于基础题型，应熟练掌握．