Question

下列五个命题中：
①函数y=log_a（2x-1）+2015（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，2015）；
②若定义域为R函数f（x）满足：对任意互不相等的x₁、x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则f（x）是减函数；
③f（x+1）=x²-1，则f（x）=x²-2x；
④若函数f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函数，则实数a=-1；
⑤若a=

logc8

logc2

（c＞0，c≠1），则实数a=3．
其中正确的命题是

 

．（填上相应的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，令函数y=f（x）=log_a（2x-1）+2015（a＞0且a≠1），易求f（1）=2015，可判断①；
②，依题意，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0?

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，利用函数单调性的定义可判断②；
③，易求f（x+1）═（x+1）²-2（x+1），于是知f（x）=x²-2x，可判断③；
④，依题意知f（0）=0，可求得a=1，可判断④；
⑤，利用对数的换底公式，可得a=

logc8

logc2

=log₂8=3（c＞0，c≠1），可判断⑤．

解答： 解：对于①，函数y=f（x）=log_a（2x-1）+2015（a＞0且a≠1），有f（1）=2015，即其图象过定点（1，2015），故①正确；
对于②，若定义域为R函数f（x）满足：对任意互不相等的x₁、x₂都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，则f（x）是增函数，故②错误；
对于③，f（x+1）=x²-1=[（x+1）-1]²-1=（x+1）²-2（x+1），则f（x）=x²-2x，故③正确；
对于④，若函数f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

是奇函数，又其定义域为R，故f（0）=

a•20+a-2

20+1

=0，解得实数a=1，故④错误；
对于⑤，若a=

logc8

logc2

=log₂8（c＞0，c≠1），则实数a=3，故⑤正确．
综上所述，正确选项为：①③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数的图象与性质，考查函数的单调性与奇偶性的判断，属于中档题．