Question

设函数f（x）=2cosxsin（x-

π

3

）+

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设函数g（x）=f（

1

2

ωx+

π

3

（ω＞0），g（

π

6

）=g（

π

3

）且g（x）在（

π

6

，

π

3

）上有最小值没有最大值，求ω的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式整理，然后利用周期公式求得T．
（2）利用（1）中f（x）的解析式，求得g（x）的表达式，利用g（

π

6

）=g（

π

3

）推断出x=

π 6 + π 3

2

为函数图象的一个对称轴，且根据已知为最小值，带入g（x）求得ω的表达式，最后根据g（x）在区间上有最小值没有最大值，判断出此区间小于半个周期，判断出ω的范围，最后求得ω．

解答： 解：（1）f（x）=2cosxsin（x-

π

3

）+

3

sin²x+sinxcosx
=2cosx（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+

3

sin²x+sinxcosx
=sinxcosx-

3

cos²x+

3

sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx-

3

（cos²x-sin²x）
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
（2）g（x）=f（

1

2

ωx+

π

3

）=2sin（ωx+

2π

3

-

π

3

）=2sin（ωx+

π

3

），
∵g（

π

6

）=g（

π

3

），
∴x=

π 6 + π 3

2

=

π

4

，为函数g（x）的一个对称轴，
∵g（x）在（

π

6

，

π

3

）上有最小值没有最大值，
∴g（

π

4

）=2sin（

π

4

•ω+

π

3

）=-1，
∴

π

4

•ω+

π

3

=2kπ-

π

2

，则ω=8k-

10

3

，
∵g（x）在（

π

6

，

π

3

）上有最小值没有最大值，
∴

T

2

＞

π

3

-

π

6

，即T＞

π

3

，
∴

2π

ω

＞

π

3

，
∴ω＜6
∴对于ω=8k-

10

3

，k只能取到1，
即ω=

14

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．第二步一定要结合三角函数的图象去理解．