Question

设函数f（x）=x3-

9

2

x2+6x-a．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若方程f（x）=0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间．
（2）求出函数的极大值与极小值，根据方程f（x）=0有且仅有三个实根，建立不等式，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x3-

9

2

x2+6x-a，
∴f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
令f′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∞（-∞，1）和（2，+∞）是增区间；（1，2）是减区间--------（6分）
（2）由（1）知 当x=1时，f（x）取极大值f（1）=

5

2

-a；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2-a；----------（9分）
∵方程f（x）=0仅有三个实根．
∴

f(1)＞0 f(2)＜0

解得：2＜a＜

5

2

------------------（12分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力，求出函数的极值是关键．