Question

设函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥3
（Ⅱ）如果?x∈R，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对x取值范围的分类讨论，去掉绝对值不等式中的绝对值符号，转化为一次不等式，分别解之，最后取并集即可；
（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义易求f（x）_min=2，从而可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-1|+|x+1|=

-2x，x＜-1 2，-1≤x≤1 2x，x＞1

，
∴f（x）≥3?

-2x≥3，x＜-1 2≥3，-1≤x≤1 2x≥3，x＞1

，
解得：x≤-

3

2

或x≥

3

2

，
∴不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}；
（Ⅱ）?x∈R，都有f（x）≥a恒成立?a≤f（x）_min，
∵f（x）=|x-1|+|x+1|≥|（x-1）-（x+1）|=2，
∴f（x）_min=2，
∴a≤2，即a的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，突出考查等价转化思想与方程思想、分类讨论思想的综合应用，属于中档题．