Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
（1）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）四边形ABCD是一条对角线AC等于边长的菱形，从而△ABC为正三角形，BC边上的中线AE也是高线，联系BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AF-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，结合BC∥AD，得AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∵PA∩AD=A，且PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，
∴AE⊥PD；
（2）解：设PA=AB=2，则由（1）知AE、AD、AP两两垂直，
∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵E，F分别为BC，PC的中点，
∴A（0，0，0），B（

3

，-1，0），C（

3

，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（

3

，0，0），F（

3

2

，

1

2

，1），
∴

AE

=（

3

，0，0），

AF

=（

3

2

，

1

2

，1），
设平面AEF的一个法向量为

m

=（x，y，z），
则

3 x=0 3 2 x+ y 2 +z=0

取z₁=-1，得

m

=（0，2，-1），
∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，
∴

BD

=（-

3

，3，0）为平面AFC的一法向量，
∴cos＜

m

，

BD

＞=

2×3

5 × 12

=

15

5

．
∵二面角E-AF-C为锐角，
∴所求二面角的余弦值为

15

5

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，以便利用已知条件得到空间的线面关系，并且便于建立坐标系利用向量的有关运算解决空间角等问题．