Question

（文科）已知函数f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

，下面结论中，所有正确结论的序号是

 

．
①f（f（x））=1
②函数f（x）是偶函数
③任取一个不为0的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立
④存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））使得△ABC为等边三角形．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；
根据函数图象的特点，可得f（x）是偶函数；
根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得③正确；
取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三点恰好构成等边三角形，得④正确．

解答： 解：函数f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

，
①当x∈Q时，f（f（x））=f（1）=1．
当x∈∁_RQ时，f（f（x））=f（0）=1．①正确；
②∵f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

的图象关于y轴对称，函数f（x）是偶函数．②正确；
③∵有理数与有理数的和为有理数，有理数与无理数的和为无理数，
∴任取一个不为0的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立．③正确；
④取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三点恰好构成等边三角形．④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．