Question

给出下列四个结论：
①由曲线y=x²、y=1围成的区域的面积为

1

3

； 
②“x=2”是“向量

a

=（x-1，1）与向量

b

=（3，x+1）平行”的充分非必要条件； 
③命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”；
④函数f（θ）=sin²θ+

4

sin2θ

的最小值等于4．
其中正确结论的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,简易逻辑

分析：①由图可知，可运用定积分先求出曲线与x=-1和y轴围成的区域的面积S，再用矩形的面积减去2S，即得所求的面积；②由向量共线的坐标表示，求出x，再根据充分必要条件的定义即可判断；③由命题的否定判断，注意“都是”的否定是“不都是”；④先应用基本不等式求，注意等号成立的条件，然后运用导数判断单调性，由单调性即可求出最小值．

解答： 解：①由曲线y=x²、y=1围成的区域的面积，可先求出曲线与x轴以及x=-1、y轴
围成的区域的面积

∫

0 -1

x²dx=

1

3

x³|

0 -1

=

1

3

，则曲线y=x²、y=1围成的区域的面积为1×2-2×

1

3

=

4

3

，故①错；
②由向量

a

=（x-1，1）与向量

b

=（3，x+1）平行得，（x-1）（x+1）=3，即x=±2，所以“x=2”是“向量

a

=（x-1，1）与向量

b

=（3，x+1）平行”的充分非必要条件，故②正确；
③命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”，故③错；
④函数f（θ）=sin²θ+

4

sin2θ

，0＜sin²θ≤1，如果运用基本不等式则sin²θ=2不成立，故最小值不等于4，
令t=sin²θ，则f（t）=t+

4

t

（0＜t≤1），由于f′（t）=1-

4

t2

＜0，即（0，1]为减区间，故最小值为1+4=5，故④错．
故正确个数为1．
故选A．

点评：本题主要考查充分必要条件的判断和命题的否定，注意与否命题的区别，同时考查定积分运用求不规则图象的面积，以及应用基本不等式求最值的注意点，是一道易错题．