Question

已知在直角坐标平面上，向量

a

=（-3，2λ），

b

=（-3λ，2），定点A（3，0），其中0＜λ＜1．一自点A发出的光线以

a

为方向向量射到y轴的B点处，并被y轴反射，其反射光线与自点A以

b

为方向向量的光线相交于点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）问A、B、P、O四点能否共圆（O为坐标原点），并说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：综合题

分析：（1）求出直线AB方程，可得B的坐标，P点关于y轴的对称点为P'（-x，y），则P'在直线AB上，可得方程y=-

2λ

3

（-x-3）；直线AP的斜率为-

2

3λ

，可得方程y=-

2

3λ

（x-3），联立消去λ可得到x和y的关系，即可求出点P的轨迹方程；
（2）四点共圆，由于OA⊥OB，那么要算下PB和PA是否垂直，如果成立，则结论成立．

解答： 解：（1）设P（x，y），则直线AB的斜率为-

2λ

3

，则直线AB方程为y=-

2λ

3

（x-3），
则可得到B点（0，2λ），
P点关于y轴的对称点为P'（-x，y），则P'在直线AB上，可得方程y=-

2λ

3

（-x-3）；
直线AP的斜率为-

2

3λ

，可得方程y=-

2

3λ

（x-3），
联立消去λ可得到x和y的关系

x2

9

+

y2

4

=1，即点P的轨迹方程为

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）四点共圆，由于OA⊥OB，那么要算下PB和PA是否垂直，如果成立，则结论成立．
k_PA•k_PB=

y

x-3

•

y-2λ

x

≠-1，∴A、B、P、O四点不共圆．

点评：本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．