Question

已知函数f（x）=|2^x-1|，a＜b＜c，且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立的是（　　）

• A、a＜0，b＜0，c＜0
• B、a＜0，b≥0，c＞0
• C、2^-a＜2^c
• D、2^a+2^c＜2

Answer 1

考点：指数函数单调性的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据函数在区间（-∞，0）上是减函数，结合题设可得A不正确；根据函数的解析式，结合举反例的方法，可得到B、C不正确；利用函数的单调性结合函数的解析式，对a＜c且f（a）＞f（c）加以讨论，可得D是正确的．由此不难得到正确选项．

解答： 解：对于A，若a＜0，b＜0，c＜0，因为a＜b＜c，所以a＜b＜c＜0，
而函数f（x）=|2^x-1|在区间（-∞，0）上是减函数，
故f（a）＞f（b）＞f（c），与题设矛盾，所以A不正确；
对于B，若a＜0，b≥0，c＞0，可设a=-1，b=2，c=3，
此时f（c）=f（3）=7为最大值，与题设矛盾，故B不正确；
对于C，取a=0，c=3，同样f（c）=f（3）=7为最大值，
与题设矛盾，故C不正确；
对于D，因为a＜c，且f（a）＞f（c），说明可能如下情况成立：
（i）a、c位于函数的减区间（-∞，0），此时a＜c＜0，可得0＜2^c＜2^a＜1，所以2^a+2^c＜2成立；
（ii）a、c不在函数的减区间（-∞，0），则必有a＜0＜c，所以f（a）=1-2^a＞2^c-1=f（c），
化简整理，得2^a+2^c＜2成立．
综上所述，可得只有D正确
故选D．

点评：本题以一个带绝对值的函数为例，在已知自变量大小关系和相应函数值的大小关系情况下，叫我们判断几个不等式的正确性，着重考查了函数的图象与单调性等知识点，属于中档题．