Question

1．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），过双曲线右焦点F倾斜角为$\frac{π}{4}$直线与该双曲线的渐近线分别交于M、N，O为坐标原点，若△OMF与△ONF的面积比等于2：1，则该双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{10}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$或$\sqrt{10}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 先求出栓曲线的渐近线方程直线方程，求出M，N的纵坐标，再根据三角形的面积比得到a与b的关系，根据离心率公式计算即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设直线方程为y=x-c，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{y=x-c}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$
解得y_M=$\frac{bc}{a-b}$，y_N=-$\frac{bc}{a+b}$，
∵△OMF与△ONF的面积比等于2：1，
若a＞b，
∴$\frac{bc}{a-b}$：$\frac{bc}{a+b}$=2：1，
∴a=3b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$
若a＜b，
∴$\frac{bc}{b-a}$：$\frac{bc}{a+b}$=2：1，
∴3a=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{10}$，
故选：C

点评 本题考查了双曲线的简单性质以及离心率的求法，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题