Question

9．已知数列{a_n} 满足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a_n+2-a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-a_n）（n∈N^*），数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₇=$\frac{4033}{3}$．

Answer 1

分析 数列{a_n} 满足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a_n+2-a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-a_n）（n∈N^*），分类讨论：n=2k（k∈N^*）时，可得a_2k+2=a_2k=$\frac{2}{3}$．n=2k-1（k∈N^*）时，可得a_2k+1+a_2k-1=2a_2k=$\frac{4}{3}$．即可得出．

解答 解：数列{a_n} 满足a₁=$\frac{1}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a_n+2-a_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-a_n）（n∈N^*），
∴n=2k（k∈N^*）时，a_2k+2-a_2k+1=-a_2k+1+a_2k，即a_2k+2=a_2k=$\frac{2}{3}$．
n=2k-1（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k=a_2k-a_2k-1，可得a_2k+1+a_2k-1=2a_2k=$\frac{4}{3}$．
∴S₂₀₁₇=a₁+（a₃+a₅）+…+（a₂₀₁₅+a₂₀₁₇）+a₂+a₄+…+a₂₀₁₆
=$\frac{1}{3}$+$\frac{4}{3}$×504+$\frac{2}{3}×1008$
=$\frac{4033}{3}$．
故答案为：$\frac{4033}{3}$．

点评 本题考查了数列递推关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．