Question

13．已知函数f（x）=e^x-ax²-2x（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）当a＜$\frac{e}{2}$-1时，证明：不等式f（x）＞$\frac{e}{2}$-1在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；
（2）根据函数的单调性得到x=x₀是h（x）的唯一零点，且在x=x₀处f（x）取最小值f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-x₀（ax₀+2），求出f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$（1-$\frac{{x}_{0}}{2}$）-x₀，构造函数g（t）=e^t（1-$\frac{t}{2}$）-t，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2，
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ln2，
故f（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
故f（x）_最小值=f（ln2）=2-2ln2；
（2）证明：f′（x）=e^x-2ax-2，
f′（1）=e-2-2a＞e-2-2（$\frac{e}{2}$-1）=0，f′（0）=-1＜0，
故存在x₀∈（0，1）使得f′（x₀）=0，
令h（x）=e^x-2ax-2，则x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，
故h（x）在（0，+∞）递增且h（x₀）=0，
故x=x₀是h（x）的唯一零点，
且在x=x₀处f（x）取最小值f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-x₀（ax₀+2），
又h（x₀）=0，即${e}^{{x}_{0}}$-2ax₀-2=0得ax₀+1=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{2}$，
故f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$（1-$\frac{{x}_{0}}{2}$）-x₀，
构造函数g（t）=e^t（1-$\frac{t}{2}$）-t，
则g′（t）=e^t（$\frac{1}{2}$-$\frac{t}{2}$）-1，g″（t）=e^t（-$\frac{t}{2}$），
故t∈（0，1）时，g″（t）＜0，g′（t）在（0，1）递减，
故t∈（0，1）时，g′（t）＜g′（0）＜0，
故g（t）在（0，1）递减，
故f（x₀）在（0，1）递减，
故f（x）_min=f（x₀）＞e¹（1-$\frac{1}{2}$）-1=$\frac{e}{2}$-1，
原结论成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．