Question

9．已知函数f（x）=|x|（x-a）+1．当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；若函数g（x）=f（x）-a有3个不同的零点，则a的取值范围为（2$\sqrt{2}$-2，1） ．

Answer 1

分析 当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x＜0\\{x}^{2}+1，x≥0\end{array}\right.$，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的单调递增区间；
函数g（x）=f（x）-a至多有一个负零点，两个非负零点，进而得到a的取值范围．

解答 解：当a=0时，函数f（x）=|x|x+1=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+1，x＜0\\{x}^{2}+1，x≥0\end{array}\right.$，
故函数图象是连续的，
且在（-∞，0）和[0，+∞）上均为增函数，
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
函数g（x）=f（x）-a=|x|（x-a）+1-a=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{2}+ax-a+1，x＜0\\{x}^{2}-ax-a+1，x≥0\end{array}\right.$，
令g（x）=0，则
当x＜0时，-x²+ax-a+1=0，即a=x+1，x=a-1，
即函数g（x）至多有一个负零点，此时a-1＜0，a＜1；
当x≥0时，x²-ax-a+1=0，
若函数g（x）=f（x）-a有3个不同的零点，则x²-ax-a+1=0有两个不等的正根，
则$\left\{\begin{array}{l}△={a}^{2}-4（-a+1）＞0\\ a＞0\\-a+1＞0\end{array}\right.$，
解得：2$\sqrt{2}$-2＜a＜1，
综上可得：若函数g（x）=f（x）-a有3个不同的零点，则a的取值范围为（2$\sqrt{2}$-2，1），
故答案为：（-∞，+∞），（2$\sqrt{2}$-2，1）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数零点的存在性及个数判断，难度中档．