Question

17．已知F₁，F₂分别是双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{9}=1（a＞0）$的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF₁|-|PF₂||=2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．
（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；
（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a=2，即a=1，即可得到双曲线C的渐近线方程，即可求出抛物线L的焦点坐标为A（1，0），即可求出抛物线L的标准方程；
（Ⅱ）设直线MN的斜率为k，则其方程为y=k（x+1）．联立方程组，得到得k²x²+2（k²-2）x+k²=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理和MF⊥NF，即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a=2，即a=1．
∴双曲线的标准方程为${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$．
∴双曲线的渐近线方程 y=±3x．
双曲线的右顶点坐标为A（1，0），即抛物线L的焦点坐标为A（1，0），
∴抛物线L的标准方程为y²=4x，
（Ⅱ）抛物线y²=4x的准线与对称轴的交点为（-1，0）．
设直线MN的斜率为k，则其方程为y=k（x+1）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得k²x²+2（k²-2）x+k²=0．
∵直线MN与抛物线交于M、N两点，
∴△=4（k²-2）²-4k⁴＞0，解得-1＜k＜1．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），抛物线焦点为F（1，0），
∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF．
∴$\frac{y_1}{{{x_1}-1}}•\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=-1$，即y₁y₂+x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
又${x_1}+{x_2}=-\frac{{2（{k^2}-2）}}{k^2}$，x₁x₂=1，$y_1^2y_2^2=4{x_1}•4{x_2}=16$且y₁，y₂同号，
∴$\frac{{2（{k^2}-2）}}{k^2}=-6$．解得${k^2}=\frac{1}{2}$，∴$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
即直线的斜率等于$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，韦达定理，考查分析问题、解决问题及计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．