Question

18．已知函数f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-x}$（a＞0）为奇函数，函数g（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$+b（b∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；
（Ⅲ）当x∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]时，关于x的不等式f（1-x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$f（x）=lg\frac{1+ax}{1-x}（a＞0）$为奇函数得：f（-x）+f（x）=0，即可求a；
（Ⅱ）当b＞1时，设 $h（x）=g（x）-ln|x|=\frac{2}{x^2}+b-ln|x|$，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减，即可讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；
（Ⅲ）不等式f（1-x）≤lgg（x）等价于$\frac{2-x}{x}≤\frac{2}{x^2}+b$，即$b≥-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1$在$x∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$有解，故只需$b≥{（-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1）_{min}}$，即可求b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=lg\frac{1+ax}{1-x}（a＞0）$为奇函数得：f（-x）+f（x）=0，
即$lg\frac{1-ax}{1+x}+lg\frac{1+ax}{1-x}=lg\frac{{1-{a^2}{x^2}}}{{1-{x^2}}}=0$，（2分）
所以$\frac{{1-{a^2}{x^2}}}{{1-{x^2}}}=1$，解得a=1，（4分）
（Ⅱ）当b＞1时，设 $h（x）=g（x）-ln|x|=\frac{2}{x^2}+b-ln|x|$，
则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减
又$h（1）=2+b＞0，h（{e^{2b}}）=\frac{2}{{{e^{4b}}}}-b＜0$
所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）
（Ⅲ）不等式f（1-x）≤lgg（x）等价于$\frac{2-x}{x}≤\frac{2}{x^2}+b$，
即$b≥-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1$在$x∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$有解，
故只需$b≥{（-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}-1）_{min}}$，（10分）
因为$x∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$，所以$\frac{1}{x}∈[2，3]$，
函数$y=-2{（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{2}$，
所以${y_{min}}=-2{（3-\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{2}=-13$，
所以b≥-13，所以b的取值范围是[-13，+∞）．（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性、考查有解问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．