Question

7．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}3x-y-6≤0\\ x-y+2≥0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值为$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求则$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
作出可行域如图：
，
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线，由图象可知当直线经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由 $\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$=1，
则$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{6}{b}$）（$\frac{a}{3}$+$\frac{b}{2}$）
=$\frac{1}{3}$+3+$\frac{b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$≥$\frac{10}{3}$+2$\sqrt{\frac{b}{2b}•\frac{2a}{b}}$=$\frac{16}{3}$，
当且仅当$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{b}$时取=号，
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．