题目内容
19．设两个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，若向量2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，求实数t的取值范围．分析 设出向量夹角为θ，结合向量夹角是钝角，得cosθ＜0，且cosθ≠-1，即2t2+15t+7＜0，且$\left\{\begin{array}{l}{2t≠-k}\\{7≠-kt}\end{array}\right.$，由此求得实数t的取值范围．
解答 解：由题意可得 $\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}$=2×1×cos60°=1，
设向量2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则θ∈（90°，180°），则有 cosθ＜0，且 cosθ≠-1．
即2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的不能反向共线，且向量数量积（2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）＜0，
设$2t\overrightarrow{{e}_{1}}+7\overrightarrow{{e}_{2}}$≠-k•（$\overrightarrow{{e}_{1}}+t\overrightarrow{{e}_{2}}$），（k＞0），则$\left\{\begin{array}{l}{2t≠-k}\\{7≠-kt}\end{array}\right.$．得t=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
由（2t$\overrightarrow{a}$+7$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）＜0，得2t$\overrightarrow{a}$2+7t$\overrightarrow{b}$2+•（2t2+7）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，
∴2t2+15t+7＜0，
解得 $-7＜t＜-\frac{1}{2}$ 且t=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故实数t的取值范围为{t|$-7＜t＜-\frac{1}{2}$，且$t≠-\frac{\sqrt{14}}{2}$}．
点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量夹角和向量数量积的关系是解决本题的关键．注意要去掉向量反向共线的情况．
