Question

19．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{n+1}{2n}{a}_{n}（n∈{N}^{*}）$．
（Ⅰ）证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{4n-{a}_{n}}$，若数列{b_n}的前n项和是T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简已知条件，即可证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列，求出首项与公比，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用放缩法推出${b}_{n}≤\frac{1}{{2}^{n-1}}$，然后利用等比数列求和，证明结论．

解答 解：（Ⅰ）由题设$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}=\frac{1}{2}×\frac{{a}_{n}}{n}$，数列$\left\{\frac{{a}_{n}}{n}\right\}$是首项为2，公比$q=\frac{1}{2}$的等比数列
所以$\frac{{a}_{n}}{n}=2×{（\frac{1}{2}）}^{n-1}={2}^{2-n}$，${a}_{n}=n×{2}^{2-n}=\frac{4n}{{2}^{n}}$；
（Ⅱ）证明：${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{4n-{a}_{n}}=\frac{\frac{4n}{{2}^{n}}}{4n-\frac{4n}{{2}^{n}}}=\frac{1}{{2}^{n}-1}$，
注意对任意n∈N^*，2ⁿ-1≥2^n-1，
所以${T}_{n}≤1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}=2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）＜2$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和以及放缩法的应用，考查计算能力．