Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=2，∠CBA=30°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=3．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）设点M为EF中点，求二面角B-AM-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面ACEF．
（II）过C作CH⊥AM，交AN于点H，连BH，从而∠CHB为二面角B-AM-C的平面角，由此能求出二面角B-AM-C的余弦值．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：∵AD=DC=CB=2，∠ABC=60°，
则AB=4，AC²=12，则得AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，∵面ACEF⊥平面ABCD，
面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BC⊥平面ACEF．（7分）
（II）解：过C作CH⊥AM，交AN于点H，连BH，
∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥AM，而AM⊥CH，∴AM⊥平面BCD，∴BH⊥AM，
则∠CHB为二面角B-AM-C的平面角，
在Rt△BHC中，CH=3，HB=

13

，cos∠CHB=

3 13

13

，
则二面角B-AM-C的余弦值为

3 13

13

．（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．