Question

19．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，△ABC的面积$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}abcosC$，
（ I）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）由已知等式及三角形面积公式，可得：$tanC=\sqrt{3}$，结合范围C∈（0，$\frac{π}{2}$），即可得解C的值．
（ II）由正弦定理得$a=\frac{4}{3}\sqrt{3}{sinA}$，$b=\frac{4}{3}\sqrt{3}sinB$，利用三角函数恒等变换的应用可得a+b=4sin（A+$\frac{π}{6}$），由范围$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可求A+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的性质可求其取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（ I）由已知：$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}abcosC$．
由三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}absinC$
联立可得：$tanC=\sqrt{3}$，且C∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：C=$\frac{π}{3}$，
所以，角C的值为$\frac{π}{3}$…（6分）
（ II）因为A为三角形内角，所以$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得：$a=\frac{4}{3}\sqrt{3}{sinA}$，$b=\frac{4}{3}\sqrt{3}sinB$，…（7分）     
 $\begin{array}{l}a+b=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}{sinA}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}{sinB}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}{sinA}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}sin（\frac{2π}{3}-A）\\=4sin（A+\frac{π}{6}）\end{array}$…（9分）
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$，
∴a+b∈（2，4]，
所以b+c的取值范围为（2，4]．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．