Question

9．函数f（x）=x²+bx-1（b∈R）．
（Ⅰ）若函数y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值为g（b），求g（b）的表达式；
（Ⅱ）是否存在实数b，使得对任意实数x₁∈[1，2]，总存在着实数x₂∈[1，2]b，使得f（x₁）-bx₁=|f（x₂）|成立，若存在，求出实数b；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的对称轴，通过讨论b的范围，求出|f（x）|的最大值，即g（b）的表达式即可；
（Ⅱ）问题等价于g（x）=0在[1，2]上有解且g（x）=3或-3在[1，2]上有解，求出b的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²+bx-1=${（x+\frac{b}{2}）}^{2}$-1-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
∴对称轴是直线x=-$\frac{b}{2}$，
①b＞0时，|f（x）|在[0，b]上递增，
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b²-1|}=$\left\{\begin{array}{l}{1，0＜b＜1}\\{{2b}^{2}-1，b≥1}\end{array}\right.$，
②b＜0时，|f（0）|=|f（|b|）|=1，f（-$\frac{b}{2}$）=-1-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
又|f（-$\frac{b}{2}$）|=1+$\frac{{b}^{2}}{4}$＞1，∴|f（x）|_max=$\frac{{b}^{2}}{4}$+1，
综上，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{{2b}^{2}-1，b≥1}\\{1，0＜b＜1}\\{\frac{{b}^{2}}{4}+1，b＜0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）y=f（x₁）-bx₁=${{x}_{1}}^{2}$-1，（1≤x₁≤2）的值域为D₁=[0，3]，
令g（x₂）=|f（x₂）|即g（x）=|x²+bx+1|，
原问题等价于当x∈[1，2]时，g（x）的值域为[0，t]，其中t≥3，
也等价于g（x）=0在[1，2]上有解且g（x）=3或-3在[1，2]上有解，
若g（x）=0在[1，2]上有解，即b=$\frac{1}{x}$-x在[1，2]上有解，从而-$\frac{3}{2}$≤b≤0，
若g（x）=3在[1，2]上有解，即b=$\frac{4}{x}$-x在[1，2]上有解，从而0≤b≤3，
若g（x）=-3在[1，2]上有解，即b=-（$\frac{2}{x}$+x）在[1，2]上有解，从而-3≤b≤-2$\sqrt{2}$，
综上，b=0．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查求函数的最值问题，是一道中档题．